百家乐背后的数学

百家乐是澳门娱乐场游戏之王。88%的澳门娱乐场投注来自百家乐,流行程度超乎想象,其他游戏的总和才仅占 12%。

约 64%的百家乐投注来自贵宾百家乐,众多豪客玩家喜欢在澳门一试运气。

为何告诉你这些呢?因为我们知道,玩家通常对数字和统计很感兴趣!因此我们决定对这个最受欢迎的娱乐场游戏进行更深入的探讨。这并不是教你如何去战胜百家乐,但却能提供一些事实和数据,以加深你对这个游戏的理解。

起手牌和天牌

我们将忽略百家乐中的花色,因此派牌盒中一共有 13 种可能的牌:1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9 以及四张 0(10、J、Q 和 K)。每当一张牌从派牌盒中发出,就有 1/13 的机率出现 1、2、3、4、5、6、7、8 或 9,以及 4/13 的机会出现 0(我们暂时忽略撤走牌对这个机率引起的微小变化)。由于有 13 种可能性,庄家或闲家的起手牌就有 169 种不同组合。其中 25 种组合组成的一手牌是 0(也叫百家乐);其他每一把可能的起手牌(1、2、3、4、5、6、7、8 和 9)都有正好 16 种组合,也就是说,它们的可能性一样大。

总点数 组合数 机率
0 25 14.80%
1 16 9.50%
2 16 9.50%
3 16 9.50%
4 16 9.50%
5 16 9.50%
6 16 9.50%
7 16 9.50%
8 16 9.50%
9 16 9.50%
总计 169 100%

也要注意以下起手牌的机率:

情形 机率
拿到任何天牌(8 或 9)并胜出的机率 16.25%
拿到任何天牌(8 或 9)并出现和局的机率 1.79%
拿到天牌 8 输给天牌 9 的机率 0.90%
没有天牌并输给天牌的机率 15.35%
庄闲皆无天牌的机率 65.72%
~ 100.00%

你会注意到,种种可能中约有三分之一由天牌决定(也就是说,庄家闲家中有一方或双方拿到 8 或 9),另有约三分之二的可能游戏继续,双方均没有 8 或 9。

无天牌,四张牌成局

如果庄闲均没有天牌呢?如果庄家和闲家都拿到 6 或 7,就不会再派牌。以下是发生机率:

闲家 庄家 赢家 机率
7 7 Tie 0.90%
7 6 Player 0.90%
6 7 Banker 0.90%
6 6 Tie 0.90%
~ ~ ~ 3.59%

由于双方中任一方拿到天牌的机率为 34.28%,而一局由四张牌组成(双方都拿到 6 或 7,各两张牌)的机率为 3.59%,我们可以得出结论,一局由四张牌组成(荷官为庄家和闲家合共派发四张牌)的机率为 37.87%,因此派第五张牌的机率为 62.13%。

第五张牌

假设没有天牌,也不是四张牌成局的情况(双方都拿到 6 或 7),那么一定会有第五张牌派出(也许还有第六张牌)。这里的数学就变得复杂了,因此我们最好只列出每把闲家牌输赢机率的概要:

如果闲家有 闲家赢 庄家赢 总共
7 70.63% 17.57% 11.79% 100.00%
6 53.06% 17.57% 29.37% 100.00%
5 44.23% 12.78% 42.99% 100.00%
4 39.83% 12.09% 48.08% 100.00%
3 37.50% 10.02% 52.48% 100.00%
2 35.86% 9.33% 54.81% 100.00%
1 34.92% 8.64% 56.45% 100.00%
0 34.31% 8.30% 57.39% 100.00%

当然这些是在会有第五张牌派出的情况下,每种起手牌(从 7 到 0)对阵任意庄家牌,闲家赢的机率。要显示出每手闲家牌对抗每手庄家牌过于复杂,但这绝对是个好的开始。

有趣的是,你从来不会完全没救,即便是闲家拿到 0 对抗庄家的 7(天牌之外最坏的情况),闲家仍有 15.4%的机会赢,以及 7.7%的机会出现和局,也就是说,逃脱的机会是 23.1%。不算太糟!

最佳投注

对于经验丰富的玩家而言,押庄比押闲略好是个普遍的常识,但原因何在?

在一个使用八副牌的百家乐游戏中,派牌盒中共有 416 张牌。组成 4、5 或 6 张牌成局的情况一共有难以置信的 4,998,398,275,503,360(将近千的五次方)种不同组合。在这千千万万的组合中,2,292,252,566,437,888 种组合庄家会赢,2,230,518,282,592,256 种组合闲家会赢,只有 475,627,426,473,216 种组合为和局。

这些大得惊人的数字太难理解,但当你把它们换算成百分比,并把押庄赢的 5%的佣金考虑在内,投注可以作如下解读:

庄家 百分比 赔率 组成
45.86% 0.95 43.57%
44.62% -1 -44.62%
9.52% 0 0.00%
~ 100.00% 优势 -1.06%
闲家 百分比 赔率 组成
44.62% 1 44.62%
45.86% -1 -45.86%
9.52% 0 0.00%
~ 100.00% 优势 -1.235%

不难发现,押庄比押闲略好,尽管要交纳 5%的佣金。之前我们提过,百家乐中的押庄和押闲是娱乐场中娱乐场优势最低的投注,再加上通过娱乐场奖励项目获取的积分以及贵宾玩家的回扣,娱乐场的赢率就变得很微小。这也是为什么豪客偏爱百家乐的原因。

很多玩家不按数学规律来玩,并选择忽略以上的统计数字,这当然没问题。不过偶尔关注一下这一游戏背后的数字解析,也是相当有趣。

发表于 2018 8月7日
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